Question

如图：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=BC=

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2

AA₁=2，∠ACB=90°，D为AB的中点，E点在BB₁上且DE=

6

．
（1）求证：AB₁∥平面DEC．
（2）求证：A₁E⊥平面DEC．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理可得AB，利用线面垂直的性质可得BB₁⊥AB．再利用勾股定理可得BE，进而证明点E是线段BB₁的中点，利用三角形的中位线定理可得AB₁∥DE，利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）利用勾股定理及其逆定理可得A₁E⊥ED，利用等腰三角形的性质可得CD⊥AB，再利用线面与面面垂直的性质可得CD⊥侧面AA₁B₁B，即可得到CD⊥A₁E．
利用线面垂直的判定定理即可证明结论．

解答：证明：（1）∵侧棱AA₁⊥底面ABC，BB₁∥AA₁，∴BB₁⊥底面ABC，∴BB₁⊥BD．
在Rt△ABC，∵∠ACB=90°，∴AB²=AC²+BC²=2²+2²=8，解得AB=2

2

．
在Rt△BDE中，由勾股定理可得DE²=BD²+BE²，∴(

6

)2=(

2

)2+BE2，解得BE=2．
∴BE=

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2

BB1．
连接AB₁，则AB₁∥DE．
∵AB₁?平面DEC，DE?平面DEC，
∴AB₁∥平面DEC．
（2）∵A1D2=AA12+AD2=42+(

2

)2=18，A1E2=A1B12+B1E2=(2

2

)2+22=12，DE²=6，
∴A1D2=A1E2+DE2，
∴∠AE1D=90°．∴A₁E⊥ED．
在△ACB中，∵AC=CB，AD=DB，∴CD⊥AB，
∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，∴CD⊥侧面AA₁B₁B．
∴CD⊥A₁E．
∵DE∩CD=D．∴A₁E⊥平面DEC．

点评：熟练掌握线面面面平行于垂直的判定定理及其性质定理、勾股定理及其逆定理、定义三角形的性质、三角形的中位线定理等是解题的关键．