题目内容

甲、乙两人定点投篮3次，记投篮投中的次数为ξ；乙投篮2次，记投篮投中的次数为η．甲、乙两人每次投篮命中的概率甲投都是： $数学公式$ ，
（1）求Eξ和Dξ；
（2）规定：若ξ＞η，则甲获胜；若ξ＜η，则乙获胜，分别求出甲、乙获胜的概率．

解：（1）依题 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）P（ξ=0）=C₃⁰•（ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=1）=C₃¹•（ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=2）=C₃²•（ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=3）=C₃³•（ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ，
P（η=0）=C₂⁰•（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
P（η=1）=C₂¹•（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
P（η=2）=C₂²•（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$
甲获胜有以下情况：ζ=1，η=0，ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2．
则甲获胜的概率为：
P₁= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
乙获胜有以下情况：η=1，ζ=0；η=2，ζ=0，1．
则乙获胜的概率为：
P₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
分析：（1）甲投篮符合独立重复试验，故投篮投中的次数为ξ服从二项分布，由二项分布知识直接求Eξ和Dξ即可；
（2）甲获胜有以下情况：ζ=1，η=0；ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2．每种情况互斥，分别求概率再求和即可．
乙获胜有以下情况：η=1，ζ=0；η=2，ζ=0，1．每种情况互斥，分别求概率再求和即可．
点评：本题考查独立重复试验的概率、二项分布等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．