Question

甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮； 已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为

1

2

、

2

3

；
（1）在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求Eξ；
（2）若第n次由甲投篮的概率为a_n，求a_n与a_n-1的关系式，并求

lim

n→∞

an．

Answer 1

分析：（1）确定ξ的取值，利用投蓝规则，求出相应的概率，可得分布列，从而可求Eξ；
（2）利用投蓝规则，可求a_n与a_n-1的关系式，进而可求极限．

解答：解：（1）由题意，ξ的取值为0，1，2，则P(ξ=0)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，P(ξ=1)=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

3

=

5

12

，P(ξ=2)=

1

2

×

2

3

=

1

3

∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	1 4	5 12	1 3

∴Eξ=0×

1

4

+1×

5

12

+2×

1

3

=

13

12

（2）由已知可得an=an-1•

1

2

+(1-an-1)•

1

3

(n∈N*，n≥2)
∴an=

1

6

an-1+

1

3

，
∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(

1

6

an-1+

1

3

)=

1

6

lim

n→∞

an+

1

3

∴

lim

n→∞

an=

2

5

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查数列递推式，属于中档题．