Question

已知是等差数列，首项，前项和为.令,的前项和.数列是公比为的等比数列，前项和为，且，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）证明：.

Answer 1

(1) ，；(2)见解析.

试题分析：(1)首先设等差数列的公差为，由已知建立的方程，求得，写出等差数列的通项公式；进一步确定等比数列的公比，求得等比数列的通项公式.
(2)求得，将不等式加以转化成，
即证：.注意到这是与自然数有关的不等式证明问题，故考虑应用数学归纳法.
很明显时，，因此用数学归纳法证明：当时，.
试题解析：(1)设等差数列的公差为，因为
所以
则
则
解得，所以                    4分
所以，
所以                              6分
(2)由(1)知，
要证，
只需证
即证：                             8分
当时，
下面用数学归纳法证明：当时，
（1）当时，左边，右边，左右，不等式成立
（2）假设，
则时，
时不等式成立
根据（1）（2）可知：当时，
综上可知：对于成立
所以                      12分