题目内容

19.已知某种商品每日的销售量y(单位:吨)与销售价格x(单位:万元/吨,1<x≤5)满足:当1<x≤3时,y=a(x-4)2+$\frac{6}{x-1}$(a为常数);当3<x≤5时,y=kx+7,已知当销售价格为3万元/吨时,每日可售出商品该4吨,当销售价格为5万元/吨时,每日可售出商品该2吨.
(1)求a,k的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为1万元/吨,试确定销售价格x的值,使得每日销售该商品所获利润最大.

分析 (1)通过x=3时,y=4;求出a,x=5时,y=5;求出k,得到函数的解析式.
(2)当1<x≤3时,求出每日销售利润的表达式,通过函数的导数判断函数的单调性,求出最大值.当3<x≤5时,求出每日销售利润的表达式,利用二次函数的最值求解最大值,推出结果.

解答 解:(1)因为x=3时,y=4;所以a+3=4,得a=1…(2分)
因为x=5时,y=5;所以5k+7=2,得k=-1…(4分)
故$y=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{{{(x-4)}^2}+\frac{6}{x-1}}&{1<x≤3}\end{array}\\-x+7\begin{array}{l}{\;}&{\;}&{\;}&{3<x≤5}\end{array}\end{array}\right.$…(5分)
(2)由(1)知,当1<x≤3时,
每日销售利润$f(x)=[{(x-4)^2}+\frac{6}{x-1}](x-1)$=x3-9x2+24x-10(1<x≤3)…(6分)
f′(x)=3x2-18x+24.                                     …(7分)
令 f′(x)=3x2-18x+24>0,解得x>4或x<2
所以f(x)在[1,2]单调递增,在[2,3]单调递减       …(8分)
所以当x=2,f(x)max=f(2)=10,…(9分)
当3<x≤5时,每日销售利润f(x)=(-x+7)(x-1)=-x2+8x-7=-(x-4)2+9…(10分)
f(x)在x=4时有最大值,且f(x)max=f(4)=9<f(2)…(11分)
综上,销售价格x=2万元/吨时,每日销售该商品所获利润最大.               …(12分)

点评 本题考查函数的解析式的求法,函数的导数的应用,考查分析问题解决问题的能力,分类讨论思想以及转化思想的应用.

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