题目内容
选修4-5：不等式选讲minA表示数集A中最小数，maxA表示数集A中最大数．若a＞0，b＞0，h=min{a，
}，H=max{
，
，
}．
（Ⅰ）求证：h≤
；
（Ⅱ）求证：H≥
．
| b |
| a2+b2 |
| 1 | ||
|
| a2+b2 | ||
|
| 1 | ||
|
（Ⅰ）求证：h≤
| ||
| 2 |
（Ⅱ）求证：H≥
| 3 | 2 |
分析：（I）利用最小值的定义得到0＜h≤a，0＜h≤
，利用不等式的性质得到 h2≤a•
，利用基本不等式得到结论．
（II）利用最大值的定义得到 H≥
＞0，H≥
＞0，H≥
＞0，利用不等式性质将三个不等式相乘及基本不等式得到H3≥2，从而证得结论．
| b |
| a2+b2 |
| b |
| a2+b2 |
（II）利用最大值的定义得到 H≥
| 1 | ||
|
| a2+b2 | ||
|
| 1 | ||
|
解答：证明：（Ⅰ）∵h=min{a，
}，
∴0＜h≤a，0＜h≤
，
∴h2≤a•
=
≤
=
，
当且仅当a=b时取等号
∴h≤
．--------（4分）
（Ⅱ）∵H=max{
，
，
}，
∴H≥
＞0，H≥
＞0，H≥
＞0，
∴H3≥
•
•
=
≥
=2，
当且仅当a=b时取等号
∴H≥
．---------（10分）
| b |
| a2+b2 |
∴0＜h≤a，0＜h≤
| b |
| a2+b2 |
∴h2≤a•
| b |
| a2+b2 |
| ab |
| a2+b2 |
| ab |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
当且仅当a=b时取等号
∴h≤
| ||
| 2 |
（Ⅱ）∵H=max{
| 1 | ||
|
| a2+b2 | ||
|
| 1 | ||
|
∴H≥
| 1 | ||
|
| a2+b2 | ||
|
| 1 | ||
|
∴H3≥
| 1 | ||
|
| a2+b2 | ||
|
| 1 | ||
|
| a2+b2 |
| ab |
| 2ab |
| ab |
当且仅当a=b时取等号
∴H≥
| 3 | 2 |
点评：本题主要考查了基本不等式，解决问题利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意不等式使用的条件：一正、二定、三相等，属于基础题．
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