Question

设正实数a，b满足等式2a+b=1且有2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立，则实数t的取值范围是

t≥

2

2

．

Answer 1

分析：正实数a，b满足等式2a+b=1⇒4a²+b²=1-4ab，故有2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立?t≥2

ab

-（1-4ab）+

1

2

=4ab+2

ab

-

1

2

=4 (

ab

+

1

4

) 2-

3

4

恒成立，故t需大于或等于4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

的最大值，由基本不等式可求得

ab

的最大值，从而得到4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

的最大值，问题解决了．

解答：解：∵a＞0，b＞0，2a+b=1，
∴4a²+b²=1-4ab，
∴2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立可转化为：t≥2

ab

-（1-4ab）+

1

2

恒成立；
又2

ab

-（1-4ab）+

1

2

=4ab+2

ab

-

1

2

=4 (

ab

+

1

4

) 2-

3

4

，
∴t≥[4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

] max（a＞0，b＞0，2a+b=1），
由基本不等式可得：1=2a+b≥2

2ab

，故

ab

≤

2

4

（当且仅当2a=b=

1

2

时取“=”），
∴[4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

]max=4(

2

4

+

1

4

)2-

3

4

=

3+2 2

4

-

3

4

=

2

2

．
故答案为：t≥

2

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题，难点在于对条件中“-4a²-b²”的观察与应用，着重考查基本不等式的性质与函数单调性及对恒成立问题的理解与应用，属于难题．