Question

设正实数a，b满足等式2a+b=1且有2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立，则实数t的取值范围是______．

Answer 1

∵a＞0，b＞0，2a+b=1，
∴4a²+b²=1-4ab，
∴2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立可转化为：t≥2

ab

-（1-4ab）+

1

2

恒成立；
又2

ab

-（1-4ab）+

1

2

=4ab+2

ab

-

1

2

=4 (

ab

+

1

4

) 2-

3

4

，
∴t≥[4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

] max（a＞0，b＞0，2a+b=1），
由基本不等式可得：1=2a+b≥2

2ab

，故

ab

≤

2

4

（当且仅当2a=b=

1

2

时取“=”），
∴[4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

]max=4(

2

4

+

1

4

)2-

3

4

=

3+2 2

4

-

3

4

=

2

2

．
故答案为：t≥

2

2

．