Question

已知函数f(x)=

cosx

a+sinx

 （a为实数）
（Ⅰ） 当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若当x∈(-

π

2

，

π

2

)时，函数f（x）有极值，求a的取值范围并求此极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=2时，求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的增区间；
（Ⅱ）若使f（x）有意义，则a≤-1或a≥1．（1）a=-1，则f'（x）≤0恒成立，f（x）无极值；若a＜-1，确定函数的单调性，可得f（x）存在极小值；（2）a=1，则f'（x）≤0恒成立，故f（x）无极值；若a＞1，确定函数的单调性，可得f（x）存在极大值．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，求导函数f′(x)=

-1-2sinx

(2+sinx)2

令f′（x）＞0，得f（x）的增区间为(-

5π

6

+2kπ，-

π

6

+2kπ)(k∈Z) …（4分）
（Ⅱ）若使f（x）有意义，则a≤-1或a≥1    …（6分）
（1）当a≤-1时，f′(x)=

-asinx-1

(a+sinx)2

，
1°若a=-1，则f'（x）≤0恒成立，故f（x）无极值
2°若a＜-1，令f′(x)=0⇒sinx=-

1

a

，则-1＜sinx＜-

1

a

，f'（x）＜0，f（x）递减；-

1

a

＜sinx＜1，f'（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）存在极小值，此时cosx=-

a2-1

a

，f（x）_极小值=-

1

a2-1

…（9分）
（2）当a≥1时，f′(x)=

-asinx-1

(a+sinx)2

，
1°若a=1，则f'（x）≤0恒成立，故f（x）无极值
2°若a＞1，令f′(x)=0⇒sinx=-

1

a

，-1＜sinx＜-

1

a

，f'（x）＞0，f（x）递增；-

1

a

＜sinx＜1，f'（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）存在极大值，此时cosx=

a2-1

a

，f（x）_极大值=

1

a2-1

…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，正确求导，恰当分类是关键．