Question

在等比数列{a_n}中，a₁+a₇=65，a₃•a₅=64且a_n+1＜a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=

1

n

（log₂a₂+log₂a₄+log₂a₆+…+log₂a_2n），数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据条件a₁+a₇=65，a₃•a₅=64，求出数列的首项和公比，然后求数列{a_n}的通项公式．
（2）求出数列{b_n}的通项公式，然后进行求和即可．

解答：解：（1）在等比数列中，由a₁+a₇=65，a₃•a₅=64，
得a₁+a₇=65，a₃•a₅=a₁a₇=64，
解得a₁=1，a₇=64或a₁=64，a₇=1，
由a_n+1＜a_n得数列为递减数列，
∴a₁=64，a₇=1，
解得64q⁶=1，即q6=

1

64

=(

1

2

)6，
解得q=

1

2

或q=-

1

2

（舍去）．
∴求数列{a_n}的通项公式问an=64•(

1

2

)n-1=27-n．
（2））log₂（a_n）=log₂（2^7-n）=7-n．为等差数列，公差-1，
b_n=

1

n

（log₂a₂+log₂a₄+log₂a₆+…+log₂a_2n）=

1

n

[5+3+1+…+（7-2n）]=

1

n

[

(5+7-2n)

2

×n]=6-n．
∴数列{b_n}为等差数列，公差为-1，
∴S_n=

5+6-n

2

×n=

n(11-n)

2

=-

1

2

(n2-11n)=-

1

2

(n-

11

2

)2+

121

8

，
∴当n=5或6时，S_n取得最大值，此时S_n=

5×6

2

=15．

点评：本题主要考查等比数列的运算，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．