Question

如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB=30米，AD=20米．记三角形花园APQ的面积为S．
（Ⅰ）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．
（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？

Answer 1

分析：（1）由于DC∥AB得出△QDC∽△DAP从而AP用DQ表示，利用三角形的面积公式表示出面积，
（2）转化成数学问题，再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得．

解答：解：（Ⅰ）设DQ=x米（x＞0），则AQ=x+20，
∵

QD

DC

=

AQ

AP

，∴

x

30

=

x+20

AP

，∴AP=

30(x+20)

x

则S=

1

2

×AP×AQ=

15(x+20)2

x

=15（x+

400

x

+ 40）≥1200，当且仅当x=20时取等号
（Ⅱ）由S≥1600，得3x²-200x+1200≥0解得0＜x≤

20

3

或x≥60
答：（Ⅰ）当DQ的长度是20米时，S最小？且S的最小值为1200平方米．
（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0＜DQ≤

20

3

或DQ≥60．

点评：本题考查将实际问题转化成数学问题的能力．