Question

如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB=36米，AD=20米．记三角形花园AMN的面积为S．
（Ⅰ）问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；
（Ⅱ）若S不超过1764平方米，求DN长的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM，从而AN，AM用DN表示，利用三角形的面积公式表示出面积，再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得．
（Ⅱ）由S不超过1764平方米，建立不等式，从而可求DN长的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设DN=x米（x＞0），则AN=x+20．
因为DC∥AB，所以△NDC∽△NAM
所以

DN

DC

=

AN

AM

，
所以

x

36

=

x+20

AM

，即AM=

36(x+20)

x

．
所以S=

1

2

×AM×AN=

18(x+20)2

x

…（4分）
=18(x+

400

x

+40)≥1440，当且仅当x=20时取等号．
所以，S的最小值等于1440平方米．…（8分）
（Ⅱ）由S=

18(x+20)2

x

≤1764得x²-58x+400≤0．…（10分）
解得8≤x≤50．
所以，DN长的取值范围是[8，50]．…（12分）

点评：本题考查将实际问题转化成数学问题的能力，考查解不等式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．