Question

【题目】如图1，是等腰直角三角形，，D，E分别是AC，AB上的点，,将沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，使得．

图1 图2

（1）证明：平面平面BCD；

（2）求与平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）取BC中点O，连接OD，OE，因为，O为BC中点,根据题意即可求出，，由即可得到，即可说明平面BCD,则可证明平面平面BCD.

（2）以O点为原点，建立空间直角坐标系O-xyz. 则可写出，，，的坐标，即可求出平面的法向量,利用公式，即可求出答案.

（1）如图所示：

取BC中点O，连接OD，OE，因为，O为BC中点,

所以

则,．

在中，，．

在中，，所以．

∵，∴平面BCD．

又平面，所以平面平面BCD．

（2）如图所示：

以O点为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，

则，，，，

所以，，

设为平面的法向量，则

，即，令，得．

又，

所以．

即与平面所成角的正弦值为．

所以与平面所成角的余弦值为