Question

已知函数f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x）（a∈R）．
（1）若f（x）关于原点对称，求a的值；
（2）在（1）下，解关于x的不等式f^-1（x）＞m（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）直接利用函数奇偶性的定义得出f（-x）+f（x）=0，再利用函数解析式即可求出a值；
（2）由（1）得f(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)，根据反函数的定义求出其反函数，再对m进行分类讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0，
有log₂（1-x）+alog₂（1+x）+log₂（1+x）+alog₂（1-x）=0，
化简得  （a+1）[log₂（1-x）+log₂（1+x）]=0
∵log₂（1-x）+log₂（1+x）不恒为0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）由（1）得f(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)则．
∵f ^-1（x）=1-

2

2x+1

∈（-1，1）
当m≥1时，不等式f ^-1（x）＞m  解集为∅
当-1＜m＜1时，解不等式 f^-1（x）＞m 有

2x-1

2x+1

＞m⇒1-

2

2x+1

＞m⇒2^x＞

1+m

1-m

⇒x＞log2

1+m

1-m

解集为  {x|x＞log2

1+m

1-m

}
当m≤-1时，不等式f^-1（x）＞m对任意的x都成立，即解集为R

点评：本题以对数型复合函数为例，考查了函数的单调性与值域、反函数和不等式的解法等等知识点，属于中档题．本题的综合性较强，在解题时注意分类讨论与转化化归思路的适时恰当的运用．