题目内容

已知函数 ．
（Ⅰ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有极大值，求实数a的值．
【答案】分析：（Ⅰ）求导函数得：f′（x）=a（x-2）2+2ax（x-2）=a（3x-2）（x-2），f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0得单调增区间，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0得单调减区间，需对a进行讨论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，；当a＜0时，，故可得解．
解答：解：（Ⅰ）求导函数得：f′（x）=a（x-2）2+2ax（x-2）=a（3x-2）（x-2）
当a＞0时，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0，
∴函数的单调增区间为，
f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0，
∴函数的单调减区间为
当a＜0时，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0，
∴函数的单调增区间为，
f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0，
∴函数的单调减区间为，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，函数在x=时，取得极大值，所以，
∴，
∴a=3
当a＜0时，函数在x=2时，取得极大值，
所以，
∴，
∴a=
点评：本题以函数为载体，考查函数在某点取得极值的条件、考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=log
13
x，若f（a3）+f（b3）=6，则f（ab）的值等于
2
2
．
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1
3
log2x，若g（x）是f（x）的“拓展函数”，且g（x）是偶函数，则符合条件的一个g（x）的解析式是
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合条件的函数也可）
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合条件的函数也可）
．

（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．

已知函数．

（1）若，求的值；

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已知函数，

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（本小题满分16分）

已知函数，

（1）若在上的最大值为，求实数的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

 

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