Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0）在区间[2，3]上的值域为[2，5]
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的函数g（x）=f（x）-（m+1）x在区间[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵a＞0，∴所以抛物线开口向上且对称轴为x=1．
∴函数f（x）在[2，3]上单调递增．
由条件得

f(2)=2 f(3)=5

，即

2+b=2 3a+2+b=5

，解得a=1，b=0．　
故a=1，b=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，b=0．
∴f（x）=x²-2x+2，从而g（x）=x²-（m+3）x+2．       
①若g（x）在[2，4]上递增，则对称轴x=

m+3

2

≤2，解得m≤1；
②若g（x）在[2，4]上递减，则对称轴x=

m+3

2

≥4，解得m≥5，
故所求m的取值范围是m≥5或m≤1．