题目内容

如图,在△ABC中,AC=b,BC=a,a＜b,D是△ABC内一点,且AD=a,∠ADB+∠C=π.问∠C为何值时,凹四边形ACBD的面积最大?并求出最大值.

解：设BD=x,在△ABC和△ABD中,根据余弦定理,得

AB2=a2+b2-2abcosC,

AB2=a2+x2-2axcos∠ADB

=x2+a2+2axcosC,

∴a2+b2-2abcosC=x2+a2+2axcosC,

即x2+2axcosC+(2acosC-b)b=0,

解得x=b-2acosC或x=-b(舍去).

于是凹四边形ACBD的面积

S=S△ABC-S△ABD

=absinC-axsin∠ADB

=absinC-a(b-2acosC)sinC

=a2sin2C.

∴当∠C=时,凹四边形ACBD的面积最大,最大值为a2,此时BD=b-a.

练习册系列答案
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精英家教网如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直径BE的长；
（2）计算：△ABC的面积．
精英家教网如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，则sinC的值为（　　）
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6
如图，在△ABC中，设
AB
=a，
AC
=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
S平行四边形ANPM
S△ABC
．
如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的长．
如图，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，则
AD
=（　　）

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