题目内容
幂函数f（x）=xα过点（2，4），求出f（x）的解析式并用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
分析：欲求函数f（x）的解析式，由于已知两函数是幂函数，故可用待定系数法设出两函数的解析式，代入点的坐标求出函数的解析式．由定义进行证明即可，取0＜x1＜x2，我们构造出f（x2）-f（x1）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x2）-f（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
解答：解：由幂函数f（x）=xα过点（2，4），得
4=2α⇒α=2
f（x）=x2 ；
f（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x12-x22=x12-x22
=（x1+x2）（x1-x2）
∵x1，x2，∈（，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1+x2＞0
∴（x1-x2）（x1+x2）＜0
即f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在（，+∞）上为增函数．
4=2α⇒α=2
f（x）=x2 ；
f（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x12-x22=x12-x22
=（x1+x2）（x1-x2）
∵x1，x2，∈（，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1+x2＞0
∴（x1-x2）（x1+x2）＜0
即f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在（，+∞）上为增函数．
点评：本题考查幂函数单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，且能根据其性质进行运算，本题考查到了函数的单调性的证明方法定义法，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．
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