题目内容

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=， AD=1，CD=3，PD=。
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值。

解：（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz则，，
于是，
因为
∴⊥，∴BP⊥BC
∴△PBC为直角三角形
（2）由（1）可得，
于是，
设平面PBC的法向量为则即
取y=1，则，
∴平面PBC的一个法向量为
设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则,
∴直线AP与平面PBC所成角的大小为

练习册系列答案
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（2012•广州一模）如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．该三棱锥中有哪些直角三角形，哪些面面垂直（只写结果，不要求证明）．
如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．
（1）判断△PBC的形状；
（2）证明你的结论．
如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，点O为AC的中点，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）求证：BO⊥平面PAC
（2）证明：△PBC为直角三角形；
（3）求直线AP与平面PBC所成角的余弦值．
如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB⊥AC，AB=AC=2，E为AC的中点．
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（2）求二面角P-BE-C的平面角的余弦值．