题目内容

已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组数：x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，（ n∈N*，且n≥2），使得a，x1，x2，…，xn，b成等差数列，a，y1，y2，…，yn，b成等比数列．老师给出下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的是    ．
【答案】分析：先根据等差数列的性质和均值不等式可判断①②正确，再由等比数列的性质可判断③④⑤不正确．
解答：解：依题意可知，a，x1，x2，…，xn，b成等差数列，则x1+x2+…+xn=
∵x1+xn=a+b
∴成立，故①正确；
∴=
∴②成立
当a=y1=y2=…=yn=b时，，当a，y1，y2，…，yn，b不相等时，，
故③④⑤不正确；
故答案为：①②
点评：本题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质和均值不等式的知识．考查综合运用能力．
练习册系列答案
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已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组数：x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，（ n∈N*，且n≥2），使得a，x1，x2，…，xn，b成等差数列，a，y1，y2，…，yn，b成等比数列．老师给出下列五个式子：①
n
k=1
xk=
n(a+b)
2
；②
1
n
n
k=1
xk＞
ab
+(
a
-
b
2
)2；③
ny1y2…yn
＜
ab
；④
ny1y2…yn
=
ab
；⑤
ny1y2…yn
＞
ab
．其中一定成立的是
 
．
按要求证明下列各题．
（1）已知a1+a2+a3+a4＞100，用反证法证明a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25；
（2）已知a，b是不相等的正数．用分析法证明a3+b3＞a2b+ab2．
已知a，b是不相等的正数，x=
a
+
b
2
，y=
a+b
，则x，y的大小关系是
x＜y
x＜y
．
已知a、b是不相等的两个正数，在a、b之间插入两组数x1，x2，…xn和y1，y2，…yn（n∈N﹢，且n≥2），使得a，x1，x2，…xn，b成等差数列，a，y1，y2，…yn，b成等比数列，则下列四个式子中，一定成立的是
①②
①②
．（填上你认为正确的所有式子的序号）
①
n
k=i
xi=
n(a+b)
2
；②
1
n
n
k=i
xi=
a+b
2
＞
ab
+(
a
-
b
2
)2；③
ny1y2…yn
=
ab
；④
ny1y2…yn
＞
2ab
a+b
．
已知a，b是不相等的正实数，求证：（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）＞9a2b2．

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