Question

已知F₁、F₂是椭圆(a＞b＞0)的左右焦点,如果在椭圆上有一点Q,使∠F₁QF₂=60°,试求椭圆的离心率的取值范围.

Answer 1

解法一：

设|QF₁|=m,|QF₂|=n.

则由椭圆定义知m+n=2a.

在△F₁QF₂中,由余弦定理,得

|F₁F₂|²=|QF₁|²+|QF₂|²-2·|QF₁|·|QF₂|·cos?0°.

∴4c²=m²+n²-mn.                        ①

由m+n=2a两边平方得

4a²=m²+n²+2mn,                         ②

由②-①得4a²-4c²=3mn.

∵m＞0,n＞0,且m+n=2a,

∴mn≤()²=a².

∴4a²-4c²=3mn≤3a².

∴a²≤4c², .

∴e²≥.

故椭圆的离心率的取值范围为e∈［,1).

解法二：设椭圆与y轴相交的上顶点为B,则不难看出∠F₁BF₂≥∠F₁QF₂=60°,

∴∠F₁BO≥30°.

∴∠BF₁O≤60°.

故

∵0＜e＜1,∴e∈［,1).

绿色通道：

求离心率的范围问题是圆锥曲线中求范围问题的重点内容之一,其主要解题思路是:想法利用圆锥曲线的几何性质以及构造出某点含a、b、c或e的不等式或数量关系式.再利用函数的知识或不等式的知识求结果.