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已知z1，z2是复数，求证：若|z1-|=|1-z1z2|，则|z1|，|z2|中至少有一个值为1．
【答案】分析：利用|z|2=，结合|z1-|=|1-z1z2|的平方，化简出|z1|2+|z2|2=1+|z1|2•|z2|2．
通过分解因式，推出|z1|，|z2|中至少有一个值为1．
解答：证：∵|z1-|=|1-z1z2|
∴|z1-|2=|1-z1z2|2．
∴（z1-）=（1-z1z2）．
∴（z1-）（-z2）=（1-z1z2）（1-）．
化简后得z1+z2=1+z1z2．
∴|z1|2+|z2|2=1+|z1|2•|z2|2．
∴（|z1|2-1）（|z2|2-1）=0．∴|z1|2=1，或|z2|2=1．
∴|z1|，|z2|中至少有一个为1．
点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查转化思想，计算能力，是基础题．
练习册系列答案
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已知z1，z2是复数，求证：若|z1-
.
z2
|=|1-z1z2|，则|z1|，|z2|中至少有一个值为1．
已知z1，z2是复数，|z1|=1，|z2|=
3
，|z1-z2|=2，则|z1+z2|=（　　）
已知z1，z2是复数，定义复数的一种运算“?”为：z1?z2=
z1z2(|z1|＞|z2|)
z1+z2(|z1|≤|z2|)
若z1=2+i且z1?z2=3+4i，则复数z2=（　　）
（1）已知Z是复数，求证：①|Z|2=Z•
.
Z
；②
.
Z-
.
Z
=
.
Z
-Z；
（2）已知z1，z2是复数，若|z1-
.
z2
|=|1-z1z2|，求证：|z1|，|z2|中至少有一个值为1．
已知z1，z2是复数，定义复数的一种运算“?”为：若z1=2+i且z1?z2=3+4i，则复数z2=（ ）
A．2+i
B．1+3i
C．2+i或1+3i
D．条件不够，无法求出

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