题目内容
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足
=
+
．
（1）求证：A，B，C三点共线；
（2）若A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，
]，f(x)=
•
-(2m2+
)•|
|的最小值为
，求实数m的值．
| OC |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
（1）求证：A，B，C三点共线；
（2）若A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，
| π |
| 2 |
| OA |
| OC |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
分析：（1）由条件求得
和
，可得
=
•
，从而得到
∥
，即A，B，C三点共线．
（2）先求出
=(sinx，0)，从而求得f（x）=1+sinx+cos2x-(2m2+
)sinx，由x的范围求得sinx∈[0，1]，利用二次函数的性质求出f（x）的最小值，即可求得实数m的值．
| AB |
| AC |
| AC |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| AB |
（2）先求出
| AB |
| 2 |
| 3 |
解答：解：∵（1）
=
+
，∴
=
-
=-
+
，
=
-
，…（1分）
∴
=
•
，…（4分）∴
∥
，即A，B，C三点共线． …（5分）
（2）由A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，
]，…（6分）
∵
=(sinx，0)，∴|
|=
=sinx，…（7分）
∵
=
+
=（1+
sinx，cosx），
从而 f(x)=
•
-(2m2+
)•|
|=1+
sinx+cos2x-(2m2+
)sinx
=-sin2x-2m2 sinx+2=-（sinx+m2）2+m4+2．…（10分）
又x∈[0，
]，则t=sinx∈[0，1]，f（x）=g（t）=-（t+m2）2+m4+2．
由于-m2≤0，∴g（t）=-（t+m2）2+m4+2 在[0，1]上是减函数，
当t=1，即x=
时，f（x）=g（t）取得最小值为-(1+m2)2+m4+2=
，解得m=±
，
综上，m=±
． …（14分）
| OC |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
| AC |
| OC |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
| AB |
| OB |
| OA |
∴
| AC |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| AB |
（2）由A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，
| π |
| 2 |
∵
| AB |
| AB |
| sin2x |
∵
| OC |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
| 2 |
| 3 |
从而 f(x)=
| OA |
| OC |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
=-sin2x-2m2 sinx+2=-（sinx+m2）2+m4+2．…（10分）
又x∈[0，
| π |
| 2 |
由于-m2≤0，∴g（t）=-（t+m2）2+m4+2 在[0，1]上是减函数，
当t=1，即x=
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
综上，m=±
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量共线的条件，两个向量的数量积公式的应用，两个向量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．
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