Question

6．若方程a^|x|=log₂（x+2）+1有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（0，1]．

Answer 1

分析 先将方程两边看成两个函数，再通过分类讨论并结合函数图象确定参数a的取值范围．

解答 解：设y₁=a^|x|，y₂=log₂（x+2）+1，
对a分类讨论如下：
①当a=1时，y₁=1为常数函数，
与函数y₂的图象只有一个交点，符合题意；
②当a＞1时，y₁为偶函数，图象关于y轴对称，
且x＜0时，函数y₁递减，x＞0时，函数y₁递增，
因此，函数y₁与y₂的图象有两个交点；
③当0＜a＜1时，y₁为偶函数，如右图，
且x＜0时，函数y₁递增，x＞0时，函数y₁递减，
因此，函数y₁与y₂的图象只有一个交点；
综合以上讨论得，a∈（0，1]．
故答案为：（0，1]．

点评 本题主要考查了指数函数的图象和性质，以及根的存在和个数的判断，体现了分类讨论和数形结合的解题思想，属于中档题．