题目内容

设函数g（x）=x2ex-1，f（x）=g（x）+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点，且g′（x）=2xex-1+x2ex-1．
（1）求a和b的值；（2）讨论f（x）的单调性．
分析：（1）根据题意，求出f（x）的导函数，令导函数在-2，1处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．
（2）由（1）得f′（x）=x（x+2）（ex-1-1），令f′（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1，根据导数的正负可得函数的单调区间．
解答：解：显然f （x）的定义域为R．
（1）f′（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），…（2分）
由x=-2和x=1为f （x）的极值点，得
f′(-2)=0 
f′(1)=0 .
…（4分）
即
-6a+2b=0 
3+3a+2b=0 
…（5分）
解得
a=-
1
3
 
b=-1 .
…（7分）
（2）由（1）得f′（x）=x（x+2）（ex-1-1）．…（8分）
令f′（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．…（10分）
f′（x）、f （x）随x的变化情况如下表：…（12分）
x （-∞，-2） -2 （-2，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - 0 + 0 - 0 +
f （x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从上表可知：函数f （x）在（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．
点评：本题主要考查函数在极值点处的导数值为0，考查利用导数判断函数的单调性，解题的关键是正确利用导数求函数的极值．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
x+1-a
a-x
（a∈R且x≠a）．
（Ⅰ）求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内的所有x都成立；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+
1
2
，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（Ⅲ）设函数g（x）=x2+|（x-a）•f（x）|，当a=-1时，求g（x）的最小值．
已知函数f(x)=
mxx2+n
(m，n∈R)在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=x2-2ax+a，若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1），求实数a的取值范围．
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=(
1
2
)x．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域A；
（Ⅱ）设函数g（x）=
-x2+(a-1)x+a
的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．
（2008•奉贤区一模）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，
x+y
2
∈D均满足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）设函数g（x）=-x2，求证：g（x）∈M．
（3）已知函数f（x）=log2x∈M．试利用此结论解决下列问题：若实数m、n满足2m+2n=1，求m+n的最大值．
已知函数：f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R且x≠a)．
（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+
1
2
，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）（理）设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）设函数g（x）=x2+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

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