Question

如图，已知ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分是平地.一开发商想在平地上建一个矩形车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.

Answer 1

解：设∠PAB=θ,θ∈［0，］延长RP交AB于M，则AM=90cosθ,MP=90sinθ, ∴PQ=MB=100-90cosθ, PR=100-MP=100-90sinθ.

∴S_矩形=PQ·PR=10 000-9 000(sinθ+cosθ)+8 100sinθcosθ.

令t=sinθ+cosθ∈［1，］，则sinθcosθ=,

∴S_矩形=10 000-9 000 t+8 100·

=(t-)²+950.

∴当t=时，S_min=950 m²,

当t=时，S_max=（14 050-9 000）m².

思想方法小结：通过设角沟通AM与MP的联系，从而列出三角函数关系式，通过换元法转化为二次函数求解.在换元时，要注意三角函数的范围.