Question

等差数列{a_n} 中，a₁=1，前n项和S_n满足条件 ，
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式和S_n；
（Ⅱ）记b_n=a_n2^n﹣1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由 =4得 =4，
所以a₂=3a₁=3且d=a₂﹣a₁=2，
所以a_n=a₁+（n﹣1）d=2n﹣1，
  = 
（Ⅱ）由b_n=a_n2^n﹣1，得b_n=（2n﹣1）2^n﹣1．
所以T_n=1+32¹+52²+…+（2n﹣1）2^n﹣1      ①
2T_n=2+32²+52³+…+（2n﹣3）2^n﹣1+（2n﹣1）2ⁿ     ②
①﹣②得：﹣T_n=1+22+22²+…+22^n﹣1﹣（2n﹣1）2ⁿ
=2（1+2+2²+…+2^n﹣1）﹣（2n﹣1）2 ⁿ﹣1
=2× ﹣（2n﹣1）2ⁿ﹣1
=2ⁿ（3﹣2n）﹣3．
∴T_n=（2n﹣3）2ⁿ+3．