题目内容

设向量
e1
，
e2
的夹角为60°且|
e1
|=|
e2
|=1，如果
A
B=
e1
+
e2
，
B
C=2
e1
+8
e2
，
C
D=3(
e1
-
e2
)．
（1）证明：A、B、D三点共线．
（2）试确定实数k的值，使k的取值满足向量2
e1
+
e2
与向量
e1
+k
e2
垂直．
分析：（1）利用向量共线证明三点共线，先将
BD
表示为
BC
 与
CD
的和，再证明
BD
=λ
AB
，最后说明
AB
，
BD
有公共点B，即可证明A、B、D三点共线
（2）因为向量
e1
，
e2
的夹角为60°且|
e1
|=|
e2
|=1，所以
e1
•
e2
=
1
2
，故可将向量
e1
，
e2
作为基底，研究2
e1
+
e2
与向量
e1
+k
e2
垂直的问题，利用向量垂直的充要条件列方程即可得k值
解答：解：（1）∵
AB
=
e1
+
e2
，
BD
=
BC
+
CD
=5
e1
+5
e2

∴
BD
=5
AB
即
AB
，
BD
共线，
∵
AB
，
BD
有公共点B
∴A，B，D三点共线．
（2）∵(2
e1
+
e2
)⊥(
e1
+k
e2
)
∴(2
e1
+
e2
)•(
e1
+k
e2
)=0
2
e1
2+2k
e1
e2
+
e1
e2
+k
e2
2=0
∵|
e1
|=|
e2
|=1，且
e1
•
e2
=|
e1
|• |
e2
|cos60°=
1
2

∴2+k+
1
2
+k=0
解得k=-
5
4
点评：本题考察了向量共线的充要条件，向量垂直的充要条件，向量数量积运算性质及应用．
练习册系列答案
相关题目
设单位向量
e1
，
e2
的夹角为60°，则向量3
e1
+4
e2
与向量
e1
的夹角的余弦值是（　　）
A、
3
4
B、
5
37
C、
25
37
D、
5
37
设向量
e1
 和
e2
 是夹角为60° 的两个单位向量，则向量
e1
+2
e2
 的模为
7
7
．

设单位向量e1、e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值是（    ）

A.            B.           C.               D.

 
设向量
e1
，
e2
的夹角为60°且|
e1
|=|
e2
|=1，如果
A
B=
e1
+
e2
，
B
C=2
e1
+8
e2
，
C
D=3(
e1
-
e2
)．
（1）证明：A、B、D三点共线．
（2）试确定实数k的值，使k的取值满足向量2
e1
+
e2
与向量
e1
+k
e2
垂直．

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