Question

（06年辽宁卷）（12分）

已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为（）．

（1）证明平面；

（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值．

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明：、分别是正方形的边、的中点.

且

四边形是平行四边形

平面而平面

平面

（Ⅱ）解法一：点在平面内的射影在直线上，过点用平面垂足为连接

为正三角形

在的垂直平分线上。

又是的垂直平分线

点在平面内的射影在直线上

过作，垂足为，连接则

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为，连接，

在折后图的中，

为直角三角形，

在中，

解法二：点在平面内的射影在直线上，连结，在平面内过点作，垂足为

为正三角形，为的中点，

又

平面

平面

又，且，平面，平面，

平面，

为在平面内的射影。

点在平面内的射影在直线上

过作，垂足为，连结，则，

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为。

在折后图的中，，

为直角三角形，，

，

在中，，

，

解法三：点在平面内的射影在直线上连结，在平面内过点作，垂足为

为正三角形，为的中点

又

平面，

平面，

平面平面

又平面平面，

平面，即为在平面内的射影，

点在平面内的射影在直线上。

过作，垂足为，连结，则

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为

在折后图的中，.

为直角三角形，.

.

在中，,

,

,

.????????????12分