题目内容

如图，设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）长轴的右端点为A，短轴端点分别为B、C，另有抛物线y=x2+b．
（Ⅰ）若抛物线上存在点D，使四边形ABCD为菱形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若a=2，过点B作抛物线的切线，切点为P，直线PB与椭圆相交于另一点Q，求
|PQ|
|QB|
的取值范围．
（Ⅰ）由四边形ABCD是菱形，得D（a，a2+b），
且
a2+b=2b
a2+b2
=2b
，解得a=
3
3
，b=
1
3
，
所以椭圆方程为3x2+9y2=1．
（Ⅱ）不妨设P（t，t2+b）（t≠0），
因为y'|x=t=2x|x=t=2t，
所以PQ的方程为y=2t（x-t）+t2+b，即y=2tx-t2+b．
又因为直线PQ过点B，所以-t2+b=-b，即b=
t2
2
．
所以PQ的方程为y=2tx-
t2
2
．
联立方程组
y=2tx-
t2
2
x2
4
+
4y2
t4
=1
，消去y，得（t2+64）x2-32tx=0．
所以点Q的横坐标为xQ=
32t
t2+64
，
所以
|PQ|
|QB|
=
xP-xQ
xQ-xB2
=
t2
32
+1．
又t2=2b∈（0，4），所以
|PQ|
|QB|
的取值范围为(1，
9
8
)．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（1）求证：BE=2AD；
（2）当AC=3，EC=6时，求AD的长．
已知椭圆：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
3
和2-
3
，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时
1
a2
+
1
b2
的值．
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦点的直线x+y-
3
=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
1
2
．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
已知
a
=(x，0)，
b
=(1，y)，且(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程，且画出轨迹C的草图；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与上述曲线C交于不同的两点A、B，求实数k和m所满足的条件；
（3）在（2）的条件下，若另有定点D（0，-1），使|AD|=|BD|，试求实数m的取值范围．
在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为
3
2
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△OAB的面积；
（3）已知抛物线上一点M（4，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断：直线DE是否过定点？说明理由．
过椭圆
x2
2
+y2=1的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求
AO
•
AF1
的范围；
（2）若
OA
⊥
OB
，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足
MF
•
FB
=
2
-1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若，则=_______.

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