题目内容

已知函数f（x）=（ $数学公式$ ）²（x＞1）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）在其定义域内的单调性；
（3）若不等式（1- $数学公式$ ）f^-1（x）＞a（a- $数学公式$ ）对x∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）由y=（ $\text{[math]}$ ）²，得x= $\text{[math]}$ ．
又y=（1- $\text{[math]}$ ）²，且x＞1，
∴0＜y＜1．
∴f^-1（x）= $\text{[math]}$ （0＜x＜1）．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜0，1- $\text{[math]}$ ＞0，1- $\text{[math]}$ ＞0．
∴f^-1（x₁）-f^-1（x₂）= $\text{[math]}$ ＜0，
即f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（0，1）上是增函数．
（3）由题设有（1- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ＞a（a- $\text{[math]}$ ）．
∴1+ $\text{[math]}$ ＞a²-a $\text{[math]}$ ，即（1+a） $\text{[math]}$ +1-a²＞0对x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]恒成立．
显然a≠-1．令t= $\text{[math]}$ ，
∵x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，∴t∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
则g（t）=（1+a）t+1-a²＞0对t∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]恒成立．
由于g（t）=（1+a）t+1-a²是关于t的一次函数，
∴g（ $\text{[math]}$ ）＞0且g（ $\text{[math]}$ ）＞0，
即 $\text{[math]}$
解得-1＜a＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用反函数求解三步骤：1、解：解出x 2、换：x、y换位 3、标：标出定义域．先由y=（ $\text{[math]}$ ）²，表示出x，最后互换x，y即可；
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，再利用函数单调性的定义研究f^-1（x₁）与f^-1（x₂）的大小关系．最后得出其在（0，1）上的单调性即可；
（3）先将原恒成立问题转化为（1+a） $\text{[math]}$ +1-a²＞0对x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]恒成立问题，令t= $\text{[math]}$ ，最终转化为一次函数恒成立的问题解决即可．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题、函数单调性的判断与证明、反函数等知识．属于中档题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．