Question

已知函数f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8（a＞2）．
（Ⅰ）求函数f（x）极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意，利用函数极值的概及求解过程即可；
（II）由题意若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），可以转化为构造新函数，求新函数在定义域下的最值．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+4x+1
令f′（x）=0解得x₁=-1或x₂=-

1

3

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4
当x=-

1

3

时，f（x）取得极小值为-

112

27

；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立?F（x）_min≥0，
x∈[0，+∞） 且F′（x）=3x²+（4-2a）x
令{F^'}（x）=0，解得x=0，x=

2a-4

3

∵a＞2，
∴当0＜x＜

2a-4

3

时，F'（x）＜0
当x＞

2a-4

3

时，F'（x）＞0
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min=F(

2a-4

3

)≥0
即(

2a-4

3

)3+(2-a)(

2a-4

3

)2+4≥0
解得a≤5，
∴2＜a≤5
当x=0时，F（x）=4成立
故综上所述：实数a的取值范围是a∈（2，5]．

点评：（I）此问考查了利用导函数求定义域下的极值，还考查了函数极值的求法及定义；
（II）此问重点考查了等价转化的思想，把所求的恒成立问题转化为求函数在定义域下求最值，令最小值还大于等于0这一思想．