Question

如果函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）的值．
（2）已知f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
（3）证明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）．

Answer 1

分析：（1）对题中的等式取x=y=1，化简即可得到f（1）=0；
（2）算出2=1+1=f（3）+f（3）=f（3×3）=f（9），从而将原不等式化简为f（a）＞f[9（a-1）]，再利用函数的单调性与定义域，建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围；
（3）配方：x=

x

y

•y，利用题中的等式化简整理，即可得到f（

x

y

）=f（x）-f（y）成立．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
∴令x=y=1，得f（1×1）=f（1）+f（1），可得f（1）=0；
（2）∵f（3）=1，
∴2=1+1=f（3）+f（3）=f（3×3）=f（9），
不等式f（a）＞f（a-1）+2，可化为f（a）＞f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

a＞0 a-1＞0 a＜9(a-1)

，解之得1＜a＜

9

8

；
（3）∵x=

x

y

•y，∴f（x）=f（

x

y

•y）=f（

x

y

）+f（y），
由此可得f（

x

y

）=f（x）-f（y）．

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求特殊的函数值并解关于a的不等式，着重考查了函数的单调性、抽象函数的理解和不等式的解法等知识，属于中档题．