Question

函数f（x）=a^x-1，（a＞0且a≠1），定义域值域均为[0，2]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（2m）＜f（m²+1），求实数m范围．

Answer 1

分析：（1）当0＜a＜1时，由题意推出矛盾，故a＞1．根据函数的定义域、值域、单调性求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由f（2m）＜f（m²+1），可得

0≤2m≤2 0≤m2+1≤2 2m＜m2+1

，由此解得m的范围．

解答：解：（1）当0＜a＜1时，根据函数f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1）的定义域值域均为[0，2]，
由函数的单调性可得 a²-1=0，且a⁰-1=2，矛盾，故a＞1．
∴a⁰-1=0，a²-1=2，∴a=

3

，
∴函数f（x）=

3

x-1．
（2）由f（2m）＜f（m²+1），可得

0≤2m≤2 0≤m2+1≤2 2m＜m2+1

，解得 0≤m＜1，故实数m范围为[0，1）．

点评：本题主要考查指数函数的单调性的应用，求函数的定义域和值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．