Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足，S₇=56．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求数列的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得，可求a₃，利用等差数列的求和公式及性质可求a₄，则d=a₄-a₃，从而可求通项
（Ⅱ）由已知可得b_n+1-b_n=2（n+1），利用叠加法可求b_n，然后利用裂项相消法可求数列的和
解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列且，
∴，
又∵a_n＞0∴a₃=6．…（2分）
∵，…（4分）
∴d=a₄-a₃=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n．   …（6分）
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n+1且a_n=2n，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=n（n+1），…（8分）
当n=1时，b₁=2满足上式，b_n=n（n+1）
∴…（10分）
∴=．        …（12分）
点评：本题主要考查了等差 数列与等比数列的综合运算，等差数列的求和公式及性质、通项公式的灵活应用是求解的关键．