Question

4．设F₁，F₂分别为椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点$A（1，\frac{3}{2}）$到F₁，F₂两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程；
（2）设点P是（1）中所得椭圆C上的动点，且点$Q（0，\frac{1}{3}）$，求线段PQ长的最大值；
（3）若E，F是（1）中所得椭圆C上关于原点对称的两点，M是椭圆上任意一点，则当直线ME，MF的斜率都存在，并记为k_ME、k_MF时，k_ME•k_MF是否为与点M位置无关的定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可得a=2，再由A在椭圆上，满足椭圆方程，解得b，进而得到椭圆方程；
（2）设出P的坐标，由两点的距离公式，结合配方和二次函数的最值求法，可得最大值；
（3）设点E的坐标为（m，n），则点F的坐标为（-m，-n），其中$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}=1$．又设点M的坐标为（x，y），则$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．由直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）由题意，椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得：2a=4，即a=2．                         
又点$A（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，所以$\frac{1}{2^2}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{b^2}=1$，得b²=3，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．                      
（2）设P（x，y），则$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
即${x^2}=4-\frac{4}{3}{y^2}$．
$P{Q^2}={x^2}+{（y-\frac{1}{3}）^2}=4-\frac{4}{3}{y^2}+{y^2}-\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}$=$-\frac{1}{3}{y^2}-\frac{2}{3}y+\frac{37}{9}=-\frac{1}{3}{（y+1）^2}+\frac{40}{9}$，
当y=-1时，$P{Q_{max}}=\frac{{2\sqrt{10}}}{3}$．
（3）k_ME•k_MF是与点M位置无关的定值，且定值为$-\frac{3}{4}$．
设点E的坐标为（m，n），则点F的坐标为（-m，-n），其中$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}=1$．
又设点M的坐标为（x，y），则$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
由${k_{ME}}=\frac{y-n}{x-m}，{k_{MF}}=\frac{y+n}{x+m}$得：${k_{ME}}•{k_{MF}}=\frac{y-n}{x-m}•\frac{y+n}{x+m}=\frac{{{y^2}-{n^2}}}{{{x^2}-{m^2}}}$．
$将{y^2}=3-\frac{3}{4}{x^2}$，${n^2}=3-\frac{3}{4}{m^2}$，
代入得：${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{\frac{3}{4}（{m^2}-{x^2}）}}{{{x^2}-{m^2}}}=-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，注意点在椭圆上满足椭圆方程，同时考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．