Question

已知函数f（x）=2cos²x+asinxcosx，f(

π

6

)=0．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间．

Answer 1

分析：（1）、由f(

π

6

)=0，代入整理即得a的值，
（2）、把a=-2

3

代入，通过诱导公式和倍角公式得：f(x)=2cos(2x+

π

3

)+1，从而得周期，单调增区间．

解答：解：（1）、由f(

π

6

)=0知2cos2

π

6

+asin

π

6

cos

π

6

=0
∴2×

3

4

+a×

1

2

×

3

2

=0
∴a=-2

3

（2）∵a=-2

3

∴f(x)=2cos2x-2

3

sinxcosx=cos2x+1-

3

sin2x=2cos(2x+

π

3

)+1
∴T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π，
∴2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ（k∈Z）
∴kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

（k∈Z）
∴函数的最小正周期为π，单调增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）

点评：本题考查求函数值，三角函数的恒等变换，三角函数的周期性，单调性，考查了转化的数学思想．