Question

某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．
（Ⅰ）试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；
（Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是

1

2

，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X，请写出X的分布列，并求X的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共C₇³种选法．选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C₄³种，根据古典概型公式得到结果．
（2）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m．当X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，由独立重复试验的公式得到概率，同理对于其他的变量的值，用同样方法做出．
（3）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m＜150，根据列出的不等式得到变量m的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，
选出3种型号的商品一共C₇³种选法．
选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C₄³种，
∴选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为P=1-

C 3 4

C 3 7

=

31

35

．
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m．
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，
∴P（X=0）=

C

0 3

(

1

2

)0(

1

2

)3=

1

8

同理可得
P（X=m）=C₃¹(

1

2

)1(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2m）=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1=

3

8

P（X=3m）=C₃³(

1

2

)3(

1

2

)0=

1

8

∴顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为：

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是
EX=0×

1

8

+m×

3

8

+2m×

3

8

+3m×

1

8

=1.5m
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，
因此应有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．

点评：本题与我们生活关系密切，本题可以培养学生运用数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．