题目内容
（本题满分12分）
如图，有一正方形钢板
缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线
是以直线AD为对称轴，以线段
的中点
为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线
，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．
【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力.
解法一：以
为原点，直线
为
轴，建立如图所示的直角坐标系，
 |
依题意
可设抛物线弧
的方程为
∵点
的坐标为
，
∴
，
故边缘线的方程为
. ……4分
要使梯形
的面积最大，则
所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为
，
∵
，
∴直线的的方程可表示为
，即
，…………6分
由此可求得
，
.
∴
，
，…8分
设梯形的面积为
，则
. ……………………………………………………………10分
∴当
时，
，
故的最大值为
. 此时
.………11分
答：当
时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为
. ………………………………………………………………………12分
解法二：以
为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，
依题意可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为
，
∴
，
故边缘线的方程
为
. ………4分
要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为
，
∵，
∴直线的的方程可表示为
，即
，…6分
由此可求得
，
.
∴
，
，……………7分
设梯形的面积为，则
. ……………………………………………………………10分
∴当时，，
故的最大值为. 此时.………11分
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. ………………………………………………………………………12分
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为底面的直棱柱被平面
所截而得. 
，
为
的中点．
时，求平面
为何值时，在棱
上存在点
，使
平面
中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱
，为
中点，
为
中点，
为
上一个动点.
；
的平
中，已知
的直径
的中点．
所成角的正弦值．
