题目内容

已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F₁（- $数学公式$ ，0），F₂（ $数学公式$ ，0），点P是此双曲线上的一点，且 $数学公式$ • $数学公式$ =0，| $数学公式$ |•| $数学公式$ |=4，该双曲线的标准方程是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：设双曲线的方程为： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，利用双曲线的定义结合题意可求得b²与a²，从而可得答案．
解答：设双曲线的方程为： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
∵两焦点F₁（- $\text{[math]}$ ，0），F₂（ $\text{[math]}$ ，0），且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴△F₁PF₂为直角三角形，∠P为直角；
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =28；①
又点P是此双曲线上的一点，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2|PF₁|•|PF₂|=4a²，由| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |=4得|PF₁|•|PF₂|=4，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -8=4a²，②
由①②得：a²=5，又c²= $\text{[math]}$ =7，
∴b²=c²-a²=2．
∴双曲线的方程为： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
故选C．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积在几何中的应用，考查待定系数法与方程思想，属于中档题．