Question

【题目】已知函数，，是的导函数.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若在可上单调递增，求的取值范围；

（3）求证：当时在区间内存在唯一极大值点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；

（2）求函数进行求导，让导函数大于或等于零，进行常变量分离，构造新函数，然后利用导数求出新构造函数单调性，最后求出的取值范围；

（3）对再求导，求出该函数的单调性，进而证明函数有唯一极大值点即可.

解：（1）∵，

，又

∴在处的切线方程为；

（2）∵∴

令，，则

∵，，∴，

∴在上单调递减，∴，

（3）∵

∴令，

∴，

显得在上单调递减，而

得，

取，则

故存在使

即在上单调递增，在上单调递减

也即为的极大值点

所以当时，在区间内存在唯一极大值点.