Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，点在直线y=2x+1上，数列{b_n}满足
（1）求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（2）求证：

Answer 1

【答案】分析：（1）把点（a_n•a_n+1）代入直线方程求得数列的递推式，整理得a_n+1+1=2（a_n+1），判断出{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得a_n．同时根据求得，进而判断出整理得b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0，进而看当n=1时b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．，综合可得答案．
（2）根据（1）可知进而求得=，先看当k≥2时求得，进而可知进而再看n=1时不等式也成立．原式得证．
解答：解：（1）∵点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，∴a_n+1=2a_n+1∴a_n+1+1=2（a_n+1），
即（a_n+1）是以2为首项，2为公比的等比数列∴a_n=2ⁿ-1
又
∴
∴
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2）
当n=1时，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3
则b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．

（2）由（1）知
∴．
∵k≥2时，=
∴••
∴
另证：当n≥2时2^n-2≥1（仅当n=2取等号）
∴2ⁿ-1≥3•2^n-2，即
∴当n≥2时，
而n=1显然成立
∴
即
点评：本题主要考查了不等式和数列的综合，数列通项公式的确定，考查了学生综合运用不等式和数列知识解决问题的能力．