Question

已知函数f（x）=x²+px+q
（1）求f（1）-2f（2）+f（3）的值
（2）求证：max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}
（3）当max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}=时，求y=f（x）的解析式．

Answer 1

解：f（1）-2f（2）+f（3）=（1²+p+q）-2（2²+2p+q）+（3²+3p+q）=2
（2）用反证法：假设|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|均小于
即|1+p+q|＜；|4+2p+q|＜；|9+3p+q|＜
∴-＜1+p+q＜ （1）
-＜4+2p+q＜ （2）
-＜9+3p+q＜ （3）
（1）+（3）得：-1＜10+4p+2q＜1
-3＜8+4p+2q＜-1
-＜4+2p+q＜-
与（2）矛盾，所以假设不成立
∴|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于
所以max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}
（3）当max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}=时
|1+p+q|≤；|4+2p+q|≤；|9+3p+q|≤
∴-≤1+p+q≤ （4）
-≤4+2p+q≤ （5）
-≤9+3p+q≤ （6）
（4）×（-1）+（5）得-1≤3+p≤1，得-4≤p≤-2
（5）×（-1）+（6）得-1≤5+p≤1，得-6≤p≤-4，
∴p=-4
同样地求得q=
∴y=f（x）=x²-4x+
分析：（1）直接根据函数值得定义代入化简计算即可．
（2）由于直接求max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}不容易，故从反证法的角度进行证明
（3）由已知，f（1）|，|f（2）|，|f（3）|均小于零，列出关于p，q的不等式组求解．
点评：本题考查了函数的概念，反证法的应用，“两边夹”的方法．属于中档题．