Question

已知圆C₁：x²+y²-4x+2y=0与圆C₂：x²+y²-2y-4=0．
（1）求证两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，即可得两圆相交；
（2）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；
（3）先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程．
解答：（1）证明：圆C₁：x²+y²-4x+2y=0与圆C₂：x²+y²-2y-4=0化为标准方程分别为圆C₁：（x-1）²+（y+1）²=5与圆C₂：x²+（y-1）²=5
∴C₁（1，-1）与圆C₂（0，1），半径都为
∴圆心距为
∴两圆相交；
（2）解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即
（x²+y²-4x+2y）-（x²+y²-2y-4）=0
即x-y-1=0
（3）解：由（2）得y=x-1代入圆C₁：x²+y²-4x+2y=0，化简可得2x²-4x-1=0
∴
当时，；当时，
设所求圆的圆心坐标为（a，b），则

∴
∴
∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为
点评：本题重点考查两圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，综合性强．