题目内容

已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（1）求角C的值；
（2）设函数 $数学公式$ ，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

解：（1）∵sin²C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c²=2ab，
由余弦定理有：a²+b²=c²+2abcosC=c²（1+cosC）①
又a²+b²=6abcosC=3c²cosC②
由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC= $\text{[math]}$ ，
又0＜C＜π，∴C= $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（ωx- $\text{[math]}$ ）
∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，
∴T=π
∴ $\text{[math]}$
∴ω=2
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）
∴f（A）= $\text{[math]}$ sin（2A- $\text{[math]}$ ）
∵ $\text{[math]}$ ＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴0＜2A- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴0＜sin（2A- $\text{[math]}$ ）≤1
∴0＜f（A）≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；
（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．
点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．