Question

已知函数f（x）=mlnx-

1

2

ax2-bx
（1）若a=b=

1

2

且m=1，求f（x）的最大值；
（2）当a=0，b=-1时，方程mf（x）=x²有唯一的一个实数解，求正数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，再研究f（x）的单调性，从而求f（x）的最大值．
（2）先设g（x）=x²-mf（x）=x²-m（mlnx+x）（x∈（0，+∞）），利用导数得到g（x）的最小值，再把方程mf（x）=x²有唯一的一个实数解，转化为g（x）的最小值等于0，即可得到正数m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=lnx-

1

4

x2-

1

2

x∴f′（x）=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=-

(x+2)(x-1)

2x

由f′（x）=0且x＞0得x=1

X	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f （ x ）	↗	- 3 4	↘

∴f（x）的最大值是f（1）=-

3

4

；
（2）设g（x）=x²-m（mlnx+x）（x∈（0，+∞））
则g′(x)=2x-

m2

x

-m=

(2x+m)(x-m)

x

令g′（x）=0，由于m＞0，解得x=m

x	（0，m ）	m	（m，+∞）
f′（x）	-	0	+
f （ x ）	↘	g（m）	↗

∴g（x）的最小值是g（m）=m²-m（mlnm+m）=-m²lnm
∵方程mf（x）=x²有唯一的一个实数解，
∴m=1

点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．