题目内容
某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）．（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
【答案】分析：（1）由题意，得出每小时加工的G型装置和H型装置的个数，求出总的个数，即可得出写出g（x），h（x）的解析式；
（2）用作差法比较大小即可，得出分配人数x的范围与两函数值大小的关系，总加工时间以后加工完成的零件所需的时间计，由此利用分段函数写出f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）的最小值，算出最小值时的自变量即得，由于函数f（x）是一个分段函数，故要对每一段上的最值作出研究，再进行比较得到函数的最小值．
解答：解：（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216-x）人．
∴g（x）=
，h（x）=
，
即g（x）=
，h（x）=
（0＜x＜216，x∈N*）．
（2）g（x）-h（x）=
-
=
．
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
当0＜x≤86时，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f（x）=
（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值．
当0＜x≤86时，f（x）递减，
∴f（x）≥f（86）=
=
．
∴f（x）min=f（86），此时216-x=130．
当87≤x＜216时，f（x）递增，
∴f（x）≥f（87）=
=
．
∴f（x）min=f（87），此时216-x=129．
∴f（x）min=f（86）=f（87）=
．
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，根据实际问题选择合适的模型是解决实际问题的变化关系常用的方法，其步骤是，建立函数模型，求解函数，得出结论，再反馈回实际问题中去．
（2）用作差法比较大小即可，得出分配人数x的范围与两函数值大小的关系，总加工时间以后加工完成的零件所需的时间计，由此利用分段函数写出f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）的最小值，算出最小值时的自变量即得，由于函数f（x）是一个分段函数，故要对每一段上的最值作出研究，再进行比较得到函数的最小值．
解答：解：（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216-x）人．
∴g（x）=
，h（x）=
，即g（x）=
，h（x）=
（0＜x＜216，x∈N*）．（2）g（x）-h（x）=
-
=
．∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
当0＜x≤86时，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f（x）=
（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值．
当0＜x≤86时，f（x）递减，
∴f（x）≥f（86）=
=
．∴f（x）min=f（86），此时216-x=130．
当87≤x＜216时，f（x）递增，
∴f（x）≥f（87）=
=
．∴f（x）min=f（87），此时216-x=129．
∴f（x）min=f（86）=f（87）=
．∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，根据实际问题选择合适的模型是解决实际问题的变化关系常用的方法，其步骤是，建立函数模型，求解函数，得出结论，再反馈回实际问题中去．
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