题目内容

已知平面向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)．若存在不同时为零的实数k和t，使
x
=
a
+(t2-3)
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
．
（1）试求函数关系式k=f（t）
（2）求使f（t）＞0的t的取值范围．
分析：（1）由题意可得
x
•
y
=0，即 [(
a
+t2-3)
b
]•(-k
a
+t
b
)=0．再由
a
•
b
=0，
a
2=4，
b
2=1，可得-4k+t（t2-3）=0，化简可得函数关系式k=f（t）．
（2）由f（t）＞0，得
1
4
t(t2-3)＞0，即t(t+
3
)•(t-
3
)＞0，由此解得t的取值范围．
解答：解：（1）∵
x
⊥
y
，∴
x
•
y
=0，即 [(
a
+t2-3)
b
]•(-k
a
+t
b
)=0．
∵
a
•
b
=0，
a
2=4，
b
2=1，∴-4k+t（t2-3）=0，即  k=
1
4
t(t2-3)．
（2）由f（t）＞0，得
1
4
t(t2-3)＞0，即t(t+
3
)•(t-
3
)＞0，解得-
3
＜t＜0 或 t＞
3
．
点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，高次不等式的解法，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知平面向量
a
=(3，2)，
b
=(x，4)且
a
∥
b
，则x的值为（　　）
A、6
B、-6
C、-
8
3
D、
8
3
已知平面向量
a
=(3，1)，
b
=(x，-3)，且
a
⊥
b
，则实数x的值为（　　）
A、-9B、9C、1D、-1
（2012•福建模拟）已知平面向量
a
=(3，1)，
b
=(x，-3），且
a
⊥
b
，则x=
1
1
．
已知平面向量
a
=(3，1)，
b
=(x，-3)，
a
∥
b
，则x等于（　　）
A、9B、1C、-1D、-9
已知平面向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，
（1）证明：
a
⊥
b
；
（2）若存在不同时为零的实数k和g，使
x
=
a
+（g2-3）
b
，
y
=-k
a
+g
b
，且
x
⊥
y
，试求函数关系式k=f（g）；
（3）椐（2）的结论，讨论关于g的方程f（g）-k=0的解的情况．

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