Question

已知平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
（1）证明：

a

⊥

b

；
（2）若存在不同时为零的实数k和g，使

x

=

a

+（g²-3）

b

，

y

=-k

a

+g

b

，且

x

⊥

y

，试求函数关系式k=f（g）；
（3）椐（2）的结论，讨论关于g的方程f（g）-k=0的解的情况．

Answer 1

分析：（1）欲证

a

⊥

b

，只需证明两个向量的数量积等于0即可，用向量数量积的坐标运算计算．
（2）因为

x

⊥

y

，所以

x

•

y

=0，就可得到含k，g的式子，把k用g表示，化简即为函数k=f（g）的关系式．
（3）由（2）得，

1

4

g(g2-3)-k=0，所以要判断方程的解的情况，即判断曲线f(g)=

1

4

g(g2-3)与直线y=k的交
点个数的情况，利用导数求函数f（g）的极值，由函数的极值画出函数的大致图象，通过图象讨论，曲线f(g)=

1

4

g(g2-3)与直线y=k的交点个数，即得关于g的方程f（g）-k=0的解的情况．

解答：解：（1）∵

a

•

b

= 

3

×

1

2

+(-1)×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

．
（2）∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，即（

a

+（g²-3）

b

）•（-k

a

+g

b

）=0．
整理得：-k

a

²+[g-k（g²-3）]

a

•

b

+g（g²-3）•

b

²=0．
∵

a

•

b

=0，

a

²=4，

b

²=1，∴上式化为-4k+g（g²-3）=0⇒k=

1

4

g(g2-3)
（3）讨论方程

1

4

g(g2-3)=k的解的情况，可以看作曲线f(g)=

1

4

g(g2-3)与直线y=k的交
点个数.f′(g)=

3

4

g2-

3

4

，令f'（g）═0，解得g₁=1，g₂=-1，当g变化时，f'（g）、f（g）
的变化情况如下表：

当g=-1时，f（g）有极大值

1

2

，当g=1时，f（g）有极小值-

1

2

，
而f(g)=

1

4

g(g2-3)=0时，得：g=-

3

，0，

3

，
可得：f（g）的大致图象（如右图）．
于是当k＞

1

2

或k＜-

1

2

时，直线与曲线有且仅有一个交点，则方程有一解：
当k=

1

2

或k=-

1

2

时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；
 当k=0时，直线与曲线有三个交点，但k、g不同时为零，故此时也有二解； 
当?-

1

2

＜k＜0或0＜k＜

1

2

时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解．

点评：本题主要考查了向量垂直的充要条件的应用，以及利用导数求函数的极值，借助极值判断方程解的个数，属于综合题．