Question

已知函数
（1）若上的最大值；
（2）若对任意x∈（0，a）时，恒有ma-f（x）＞1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）=，令f′（x）=0，得，x₂=a．由此进行分类讨论，能求出函数f（x）的最大值．
（2）由（1）知：当a=时，函数f（x）在（0，a），即（0，）上单调递增；a时，函数f（x）在（0，a）上的最大值为f（）．故“恒有ma-f（x）＞1成立”等价于“ma-1＞f（）恒成立”，由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）=，
令f′（x）=0，得，x₂=a．
∵a，∴由f′（x）＞0，得函数f（x）在（0，）上单调递增，
由f′（x）＜0得函数f（x）在（）上单调递减．
∴函数f（x）的最大值为f（）==aln-a-．
（2）由（1）知：
当①a=时，函数f（x）在（0，a），即（0，）上单调递增；
②a时，函数f（x）在（0，a）上的最大值为f（）．
∴“恒有ma-f（x）＞1成立”等价于“ma-1＞f（）恒成立”，
即ma-1＞f（）=aln-a-，
∴m＞ln-1+．
∵a，∴ln的最大值为，
∴实数m的取值范围为{m|m＞}．
点评：本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算推导能力、等价转化能力、分类讨论能力．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．